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Bitte beziehen Sie sich beim Zitieren dieses Dokumentes immer auf folgende
URN: urn:nbn:de:bsz:25-opus-28602
URL: http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/2860/


Geier, Martin Christian

Ab initio derivation of the cascaded lattice Boltzmann automaton

Ab initio Ableitung des kaskadierten Gitterboltzmannautomaten

Dokument1.pdf (3.163 KB) (md5sum: de999ef067081df33c92c019fba124a1)

Kurzfassung in Englisch

In this thesis, an executable cellular automaton model for athermal fluids is
derived from first principles. The time evolution of a fluid is described by
deterministic streaming of particles and their collisions. It is shown that the
assumption of a symmetric equilibrium and the invariance under shift, rotation,
and the commutation of the collision operators are sufficient for the
unique determination of all model parameters. No other physical or mathematical
justification is necessary for the derived model, which will be called
the cascaded lattice Boltzmann automaton. The method of central moments
is introduced for the derivation of the cascaded lattice Boltzmann automaton.
The method of central moments is a mathematical tool applied to gain
independence of the frame of reference for systems with an intrinsic frame of
reference. The first step in the procedure is to determine the intrinsic frame
of reference. This is done by the determination of all characteristic points of
the the system. The second step is to apply a coordinate transform to the
system to transfer it into its characteristic frame of reference. Operations are
constraint to the characteristic frame of reference. The last step is the transformation
back into the original frame of reference. For simple fluid dynamics
the only characteristic point is the mean of the velocity distribution.
The cascaded lattice Boltzmann automaton is compared to other lattice
Boltzmann automata and is found to have superior accuracy and stability
characteristics. The role of higher order velocity moments which are typically
neglected in other lattice Boltzmann automata is investigated in detail. The
instabilities which plague other lattice Boltzmann automata are traced back
to the wrong behavior of third order velocity moments. Without the independence
from the frame of reference gained by the method of central moments,
third order velocity moments are wrong and cause an error in viscosity which
is of second order in Mach number. The application of the method of central
moments reduces this error to fourth order in Mach number. More important
is the qualitative differences of the errors. The error in the original lattice
Boltzmann automaton is shown to be always negative while the error in the
cascaded lattice Boltzmann automaton is always positive. Negative errors in
viscosity are destabilizing since they might cause the viscosity to become negative
which is not allowed by the second law of thermodynamics. Positive errors
in viscosity cannot cause numerical instabilities. In addition, the magnitude of
the errors in the cascaded lattice Boltzmann automaton is significantly lower.
Numerical viscosity is in general very low in the new method. It is further
shown that the time evolution of third order moments have to be decoupled
from the evolution of second order moments. The evolution of second order
velocity moments is modeled by an over-relaxation process in order to obtain
small viscosities. It is shown that the application of the same over-relaxation
process to third order moments causes intolerable aliasing effects. Third order
moments describe the curvature of the velocity field and their over-relaxation
causes a flipping-over of the local curvature. Low wavelength components of
the flow field get unstable if over-relaxation of third order moments is allowed.
Therefore, the cascaded lattice Boltzmann automaton applies over-relaxation
only to second order moments and equilibrates all higher order moments.
Computational evidence for the superiority of the cascaded lattice Boltzmann
automaton over other methods of computational fluid dynamics is shown
by some computational experiments. The flow around an rectangular obstacle
in 3D at a Reynolds number of 1400000 is presented. Even though the
simulation is under-resolved by a factor of more than 40000, it is shown that
the fully developed turbulent wake complies with the Kolmogorov theory of
turbulent flow. Simulations of the free decay of turbulence show that the flow
field contains turbulent features complying with the Kolmogorov theory down
to the length of a few grid spacings irrespective of the lack of resolution in the
simulation. Finally it is shown that the cascaded lattice Boltzmann automaton
captures the correct transition from laminar steady to laminar unsteady
flow behind a cylinder with a diameter of a single grid spacing. The vortices
are smaller than one grid spacings in this case and yet they are modeled with
sufficient accuracy to capture the relevant physical effects of the problem.


Kurzfassung in Deutsch

In dieser Arbeit wird ein Zellularautomatenmodel für athermische Fluide ab
intio abgeleitet. Die zeitliche Entwicklung eines Fluids wird durch determistischen
Flug und Stoss von Partikeln beschrieben. Es wird gezeigt, dass die
Annahme einer symmetrischen Gleichgewichtsverteilung und der Invarianz
unter Translation und Rotation sowie die Kommutation der Stossoperatoren
ausreichen um alle Modellparameter eindeutig zu bestimmen. Die Herleitung
des neuen Modells, das als der kaskadierte Gitterboltzmannautomat
bezeichnet werden soll, benötigt keine darüber hinausgehende physikalische
oder mathematische Rechtfertigung. Für die Ableitung des kaskadierten Gitterboltzmannautomaten
wird die Methode der zentralen Momente eingeführt.
Die Methode der zentralen Momente ist ein mathematisches Hilfsmittel mit
dem sich für ein System das ein intrinsiches Bezugssystem aufweist Unabhängigkeit
von dem Bezugssystem erlangen lässt. Im ersten Schritt wird das
intrinsische Bezugssystem ermittelt indem alle charakteristischen Punkte des
Systems bestimmt werden. Der zweite Schritt besteht in einer Koordinatentransformation
in das charakteristische Bezugssystem. Alle Operationen werden
in dem charakteristischen Bezugssystem ausgeführt. Im letzten Schritt
wird das System wieder in sein Ursprungsbezugssystem zurücktransformiert.
Der einzige charakteristische Punkt für einfache Fluide ist der Schwerpunkt
der Geschwindigkeitsverteilungsfunktion.
Der kaskadierte Gitterboltzmannautomat wird mit anderen Gitterboltzmannautomaten
verglichen und es wird festgestellt, dass er bessere Stabilitäts-
und Genauigkeitseigenschaften aufweist. Die Rolle der höheren Geschwindigkeitsmomente,
die gewöhnlich in anderen Gitterboltzmannautomaten vernachlässigt
werden, wird genauer untersucht. Die Insatbilitäten die andere Gitterboltzmannautomaten
plagen, können auf ein falsches Verhalten der dritten Geschwindigkeitsmomente
zurückgeführt werden. Ohne die Unabhängigkeit vom
Bezugsrahmen, die durch die Methode der zentralen Momente erreicht wird,
sind die dritten Geschwindigkeitsmomente falsch und verursachen einen Fehler
in der Viskosität der zweiter Ordnung in der Machzahl ist. Die Verwendung
der Methode der zentralen Momente reduziert diesen Fehler auf Ordnung vier
in der Machzahl. Wichtiger ist aber der qualitative Unterschied der Fehler.
Wärend der Fehler in der Ursprünglichen Gitterboltzmannmethode immer zu
einer negativen Viskosität führt ist der Fehler in der neuen Methode immer positiv.
Negative Fehler in der Viskosität sind destabilisierend da sie dazu führen
können das die Viskosität negativ werden kann was laut dem zweiten Hauptsatz
der Thermodynamik verboten ist. Positive Fehler in der Viskosität können
keine numerischen Instabilitäten verursachen. Zusätzlich ist auch der Betrag
der Fehler in der kaskadierten Methode erheblich kleiner. Es wird gezeigt, dass
die zeitliche Entwicklung der dritten Momente von der der zweiten Momente
entkoppelt werden muss. Die zeitliche Entwicklung der zweiten Momente
wird durch einen Überrelaxationsprozess modelliert um kleine Viskositäten
zu erlangen. Es wird gezeigt, dass die Anwendung des gleichen Überrelaxationsprozesses
auf die dritten Momente zu intolerablen Aliasingeffekten führt.
Dritte Momente beschreiben die Krümmung des Geschwindigkeitsfeldes. Ihre
Überrelaxierung führt zu einer Inversion der lokalen Krümmung. Kurzwellige
Bestandteile des Strömungsfeldes werden instabil wenn die Überrelaxierung
dritter Momente zugelassen wird. Daher überrelaxiert der kaskadierte Gitterboltzmannautomat
nur zweite Momente und setzt alle übrigen Momente auf
ihren Gleichgewichtszustand.
Die Überlegenheit des kaskadierten Gitterboltzmannautomaten gegenüber
anderen fluidischen Simulationsmethoden wird anhand einiger rechnerischer
Experimente gezeigt. Der Fluss um ein rechteckiges Hindernis bei Reynoldszahl
1400000 wird untersucht. Obwohl die Auflösung der Simulation um mehr
als einen Faktor 40000 zu niedrig ist kann gezeigt werden, dass die völlig
ausgebildete turbulente Strömung der Kolmogorov-Theorie gehorcht. Simulationen
von frei zerfallender Turbulenz zeigen Details die bis hinunter auf wenige
Gitterlängen der Kolmogorov-Theorie gehorchen ungeachtet der fehlenden
Auflösung in der Simulation. Es wird ferner gezeigt, dass der kaskadierte Gitterboltzmannautomat
auch den Übergang von laminar statischen zu laminar
dynamischen Stömungen hinter einem Zylinder korrekt abbildet wenn der Zylinder
nur den Durchmesser einer einzigen Gitterlänge aufweist. Die Wirbel
sind in diesem Fall zwar kleiner als eine einzige Gitterlänge, die relevanten
physikalischen Effekte werden aber dennoch mit hinreichender Genauigkeit
von dem Modell abgebildet.


SWD-Schlagwörter: Gitter-Boltzmann-Methode , Turbulenz , Turbulente Strömung , Aliasing
Freie Schlagwörter (englisch): Lattice Boltzmann , turbulence , aliasing
Institut: Institut für Mikrosystemtechnik
Fakultät: Technische Fakultät (bisher: Fak. f. Angew. Wiss.)
DDC-Sachgruppe: Technik
Dokumentart: Dissertation
Erstgutachter: Korvink, Jan G. (Prof. Dr.)
Quelle: http://www.bfg.uni-freiburg.de/Projects/dlb/geierThesis
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 21.12.2006
Erstellungsjahr: 2006
Publikationsdatum: 08.02.2007
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