Direkt zum Inhalt | Direkt zur Navigation

Eingang zum Volltext

Lizenz

Bitte beziehen Sie sich beim Zitieren dieses Dokumentes immer auf folgende
URN: urn:nbn:de:bsz:25-opus-33213
URL: http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/3321/


Junginger-Gestrich, Hannes

Minimizing hypersurfaces and differentiability properties of the stable norm

Minimierende Hyperflächen und Differenzierbarkeitseigenschaften der Stabilen Norm

Dokument1.pdf (905 KB) (md5sum: bee9d126b9bdc19131aa546a47d98a97)

Kurzfassung in Englisch

On the real homology vectorspaces of a compact, connected, oriented n-dimensional Riemannian manifold there is a natural notion of a homogenized Riemannian volume - the stable norm, introduced by H. Federer. We study differentiability properties of this norm in codimension one. To this end we investigate geometric properties of (parametric) minimizing hypersurfaces in the Abelian covering space of the manifold. These results generalize classical theorems of H.M. Morse and G.A. Hedlund on minimal geodesics on surfaces. Furthermore we give a codimension one version of Aubry-Mather Theory for this variational problem.

Similar results in the nonparametric case with another variational problem are obtained by J. Moser, V. Bangert and W. Senn. In the second part of the thesis we complete the proof of a uniqueness theorem for nonparametric hypersurfaces, which is of central importance in the theory.


Kurzfassung in Deutsch

Die stabile Norm ist eine Norm auf den reellen Homologievektorräumen einer kompakten, orientierten n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit. Sie gibt einen natürlichen Begirff eines homogenisierten Riemannschen Volumens. In dieser Doktorarbeit werden Differenzierbarkeitseigenschaften dieser Norm in Kodimension eins untersucht. Diese hängen eng zusammen mit geometrischen Eigenschaften von (homolog) minimierenden Hyperflächen in der Abelschen Überlagerung der Mannigfaltigkeit. Wir beweisen Sätze über diese Hyperflächen, die klassische Resultate von H.M. Morse und G.A. Hedlund über minimale Geodätische auf Flächen verallgemeinern. Außerdem wird die Aubry-Mather Theorie für diesen Fall entwickelt.

Ähnliche Ergebnisse für den Fall von Graphen, die ein geeignetes, aber von unserem Fall fundamental verschiedenes, Variationsproblem minimieren, wurden von J. Moser, V. Bangert und W. Senn erzielt. Im zweiten Teil der Doktorarbeit wird der Beweis eines für die Theorie zentralen Eindeutigkeitssatzes für diesen (nichtparametrischen) Fall gegeben.


SWD-Schlagwörter: Variationsrechnung , Geometrische Maßtheorie
Freie Schlagwörter (englisch): Calculus of Variations, Geometric Measure Theory
MSC Klassifikation 35B27 , 53C38 , 49Q20
Institut: Mathematisches Institut
Fakultät: Fakultät für Mathematik und Physik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Erstgutachter: Bangert, Victor (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 12.10.2007
Erstellungsjahr: 2007
Publikationsdatum: 18.10.2007
Indexliste