Direkt zum Inhalt | Direkt zur Navigation

Eingang zum Volltext

Lizenz

Bitte beziehen Sie sich beim Zitieren dieses Dokumentes immer auf folgende
URN: urn:nbn:de:bsz:25-opus-71846
URL: http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/7184/


Weiß, Stefan

Deformation quantization of principal fibre bundles and classical gauge theories

Deformationsquantisierung von Hauptfaserbündeln und klassische Eichtheorien

Dokument1.pdf (1.297 KB) (md5sum: 00fa398f6580db86c8de963a91e35c43)

Kurzfassung in Englisch

In this dissertation the notion of deformation quantization of principal fibre bundles is established and investigated in order to find a geometric formulation of classical gauge theories on noncommutative space-times. As a generalization, the notion of deformation quantization of surjective submersions is also discussed. With respect to a given differential star product on the base manifold the functions on the total space are deformed as a right module which is additionally invariant under the action of the structure group in the principal bundle case. By definition, the deformed module structure is given by a formal power series of corresponding bidifferential operators.

After a physical motivation and discussion of the definitions the underlying deformation theory of modules is investigated in full generality. It turns out that the obstruction for an order by order construction of the desired deformations is encoded in the second Hochschild cohomology group of the algebra of functions on the base manifold with values in the differential operators on the functions on the total space. Analogously, information on the equivalence of two deformation quantizations is contained in the first Hochschild cohomology group. That this and all higher cohomology groups are trivial in the considered situations is one of the main results proved in this self-contained work. Using the topological versions of the bar and Koszul complex there is given an explicit homotopy which yields the result locally at first and also globally due to appropriate partitions of unity.

This way it is shown that deformation quantizations of surjective submersions and principal fibre bundles always exist and are unique up to equivalence. These statements concerning complex-valued functions are moreover formulated and proved for sections of arbitrary vector bundles over the total space, in particular equivariant vector bundles. The commutants of the deformed right module structures within the differential operators, playing an inportant role with regard to the infinitesimal gauge transformations, are computed explicitly in each case. Depending on the choice of specific covariant derivatives and connections the commutants are isomorphic to the formal power series of the respective vertical differential operators which thus inherit a deformation of the algebra structure. The resulting deformed bimodules are again unique up to equivalence. With respect to further applications it is finally shown that every deformation quantization of a principal fibre bundle induces a deformation quantization of any associated vector bundle.


Kurzfassung in Englisch

In dieser Dissertation wird der Begriff der Deformationsquantisierung von Hauptfaserbündeln eingeführt und untersucht, um damit eine geometrische Formulierung klassischer Eichtheorien auf nichtkommutativen Raumzeiten zu finden.
In Verallgemeinerung dazu wird auch der Begriff der Deformationsquantisierung von surjektiven Submersionen diskutiert. Bezüglich eines vorgegebenen differentiellen Sternprodukts auf der Basismannigfaltigkeit werden die Funktionen auf dem Totalraum als Rechtsmodul deformiert, der im Falle von Hauptfaserbündeln zusätzlich unter der Wirkung der Strukturgruppe invariant ist. Per Definition handelt es sich bei der deformierten Modulstruktur um eine formale Reihe entsprechender Bidifferentialoperatoren.

Nach einer physikalischen Motivation und Diskussion der Definitionen wird die zugrunde liegende Deformationstheorie von Moduln in voller Allgemeinheit untersucht. Es zeigt sich, dass die Obstruktion für eine ordnungsweise Konstruktion der gewünschten Deformationen in der zweiten Hochschild-Kohomologiegruppe der Funktionenalgebra auf der Basismannigfaltigkeit mit Werten in den Differentialoperatoren auf den Funktionen über dem Totalraum kodiert ist. Analog dazu sind Informationen über die Äquivalenz zweier Deformationsquantisierungen in der ersten Hochschild-Kohomologiegruppe enthalten. Dass diese und alle höheren Kohomologiegruppen in den betrachteten Situationen trivial sind, ist eines der Hauptresultate, die in dieser in sich geschlossenen Arbeit bewiesen werden. Unter Verwendung der topologischen Versionen des bar- und Koszul-Komplexes wird eine explizite Homotopie angegeben, die das Resultat zunächst lokal und mit Hilfe geeigneter Zerlegungen der Eins auch global liefert.

Auf diese Weise wird gezeigt, dass Deformationsquantisierungen von surjektiven Submersionen und Hauptfaserbündeln immer existieren und eindeutig bis auf Äquivalenz sind. Diese Aussagen bezüglich komplex-wertiger Funktionen werden zudem auch für Schnitte beliebiger Vektorbündel über dem Totalraum, insbesondere äquivarianter Vektorbündel, formuliert und bewiesen. Die Kommutanten der deformierten Rechtsmodulstrukturen innerhalb der Differentialoperatoren, die hinsichtlich der infinitesimalen Eichtransformationen eine wichtige Rolle spielen, werden in sämtlichen Fällen explizit berechnet. Abhängig von der Wahl spezieller kovarianter Ableitungen und Zusammenhänge, sind die Kommutanten isomorph zu den formalen Potenzreihen der jeweiligen vertikalen Differentialoperatoren, welche dadurch eine Deformation der Algebrastruktur erben. Die resultierenden deformierten Bimoduln sind wiederum eindeutig bis auf Äquivalenz. In Hinblick auf weitere Anwendungen wird schließlich gezeigt, dass jede Deformationsquantisierung eines Hauptfaserbündels eine Deformationsquantisierung jedes assoziierten Vektorbündels induziert.


SWD-Schlagwörter: Deformationsquantisierung , Prinzipalbündel , Eichtheorie
Freie Schlagwörter (englisch): deformation quantization , principal bundle , gauge theory
Institut: Physikalisches Institut
Fakultät: Fakultät für Mathematik und Physik
DDC-Sachgruppe: Physik
Dokumentart: Dissertation
Erstgutachter: Waldmann, Stefan (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 14.12.2009
Erstellungsjahr: 2009
Publikationsdatum: 01.02.2010
Indexliste