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Bitte beziehen Sie sich beim Zitieren dieses Dokumentes immer auf folgende
URN: urn:nbn:de:bsz:25-opus-77025
URL: http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/7702/


Feiler, Simon

Die relative Verteilung der Inversen einer natürlichen Zahl zu variablen Moduln

On the relative distribution of the inverses of a positive integer modulo several positive integers

Dokument1.pdf (1.555 KB) (md5sum: 91a59b7cc10174af1478485bbc1c259d)

Kurzfassung in Deutsch

Betrachtet wird die Verteilung der kleinsten positiven Inversen a*(m) einer festen natürlichen Zahl a zu verschiedenen natürlichen Moduln m. Dabei ist insbesondere das Verhältnis von a*(m) und m interessant.
Es zeigt sich, dass die Folge dieser Verhältnisse für keine Menge von Moduln im Weyl'schen Sinne gleichverteilt modulo 1 ist. Allerdings stellt man eine möglichst regelmäßige Verteilung der Folgenglieder fest, wenn man ein Intervall natürlicher Zahlen als Menge von Moduln betrachtet.
Im Hauptteil der Arbeit wird die Menge der Primzahlen, die zu a teilerfremd sind und eine reelle Schranke x nicht überschreiten, als Modulmenge gewählt.
Die sich ergebende Exponentialsumme wird auf zwei Wegen abgeschätzt.
Der eine Weg verwendet eine explizite Formel zur zweiten Chebyshev-Funktion und Dichtesätze zu den Nullstellen der Dirichlet'schen L-Funktionen. Auf diesem Weg erhält man unter Annahme der Verallgemeinerten Riemann'schen Vermutung für die Wahl von a ein befriedigend großes von x abhängiges Intervall, innerhalb dessen die betrachtete Folge so regelmäßig wie möglich modulo 1 verteilt ist.
Auf dem zweiten Weg werden die Vaughan-Identität und Abschätzungen für unvollständige Kloosterman-Summen verwendet, um die Exponentialsumme abzuschätzen. Hier erhält man ohne Annahme der Verallgemeinerten Riemann'schen Vermutung ein lediglich vertretbar kleineres von x abhängiges Intervall, innerhalb dessen a gewählt werden kann, um eine möglichst regelmäßige Verteilung der Folge zu erhalten.


Kurzfassung in Englisch

For several positive integers m let a*(m) be the smallest positive inverse of a fixed positive integer a. This paper is about the sequence of the ratios between a*(m) and m.
Very quick one finds, that the sequence cannot be equidistributed modulo 1 in the sense of Weyl's for any choice of sets of moduli. Nonetheless one quickly sees, that the sequence is as regular distributed as possible for the choice of an intervall of positive integers for the set of moduli.
In the main part of the paper the set of moduli is chosen to be the set of primes not dividing a and not exceeding a real number x.
There occurs an exponential sum, which is estimated in two different ways.
In the first way an explicit formula for the second Chebyshev-function and density estimates for the zeros of Dirichlet's L-functions are used. Under the assumption of the Grand Riemann Hyposthesis one gets a satisfyingly big interval depending on x from which a can be chosen in a way that the sequence of interest is as regular distributed modulo 1 as possible.
In the second way Vaughan's Identity and estimations of incomplete Kloosterman-sums are used to estimate the exponential sum. That way omits the assumption of the Grand Riemann Hypothesis and reaches a passably smaller interval depending on x from which a can be chosen to ensure, that the sequence is as regular distributed modulo 1 as possible.


SWD-Schlagwörter: Zahlentheorie , Analytische Zahlentheorie , Kloosterman-Summe , Explizite Formel , Inverse , Verteilung
Freie Schlagwörter (deutsch): Vaughan-Identität
Freie Schlagwörter (englisch): Vaughan's Identity , analytic number theory , Kloosterman sums , explicit formulae , inverses
Institut: Mathematisches Institut
Fakultät: Fakultät für Mathematik und Physik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Erstgutachter: Wolke, Dieter (Prof. Dr.)
Sprache: Deutsch
Tag der mündlichen Prüfung: 03.08.2010
Erstellungsjahr: 2010
Publikationsdatum: 26.08.2010
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