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Bitte beziehen Sie sich beim Zitieren dieses Dokumentes immer auf folgende
URN: urn:nbn:de:bsz:25-opus-77245
URL: http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/7724/


Glau, Kathrin

Feynman-Kac-Darstellungen zur Optionspreisbewertung in Lévy-Modellen

Feynman-Kac formula for option pricing in Lévy models

Dokument1.pdf (1.578 KB) (md5sum: 8dbb052a173c5dbe3809e838c492bed8)

Kurzfassung in Deutsch

Feynman-Kac-Formeln stellen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen bedingten Erwartungswerten und partiellen Integro-Differentialgleichungen her. Im Kontext der Optionspreisbewertung führt diese Verbindung für eine große Klasse von (zeitinhomogenen) Lévy-Modellen zu numerischen Verfahren zur Berechnung der Preise durch Lösen linearer parabolischer Integro-Differentialgleichungen, kurz PIDEs für die englische Bezeichnung "Partial Integro Differential Equation".

In den letzten Jahren wurden effiziente numerische Verfahren, sogenannte Wavelet-Galerkin-Methoden zur Optionspreisberechnung entwickelt, bei denen Lösungen von PIDEs berechnet werden. Um zu zeigen, dass diese Lösungen mit den Optionspreisen übereinstimmen, wird in dieser Arbeit eine Feynman-Kac-Darstellung für schwache Lösungen zu linearen parabolischen Gleichungen in Sobolev-Slobodeckii-Räumen hergeleitet. Die Auffassung der PIDEs als Pseudo-Differentialgleichungen führt zu einer Klassifikation der Lévy-Prozesse anhand ihrer Fouriertransformierten.

Um das Ergebnis für die Anwendung auf Europäische Optionen anzupassen, wird mit sogenannten exponentiell gewichteten Sobolev-Slobodeckii-Räumen gearbeitet. Zur Charakterisierung von Preisen zu Barriere-Optionen über Lösungen von parabolischen Randwertproblemen wird eine Argumentation, die als "Pénalisation du domaine" bekannt ist, geführt.

Die Resultate werden zur Optionspreisbewertung in exponentiellen (zeitinhomogenen) Lévy-Modellen für den Aktienkurs angewendet. Formeln für faire Preise zu Europäischen, Barriere- und Lookback-Optionen werden hergeleitet und faire Preise von Barriere- und Lookback-Optionen werden im CGMY-Modell numerisch mit Hilfe von Wavelet-Galerkin-Verfahren berechnet.


Kurzfassung in Englisch

Feynman-Kac formulas provide a fundamental link between conditional expectations and deterministic partial integro differential equations (PIDEs). In the context of option pricing in Lévy models, this relation has led to the development of various numerical methods to calculate prices via solving PIDEs. Among those wavelet-Galerkin methods play an important role, since they provide efficient algorithms and are applicable to a wide range of problems. To show that these numerical solutions coincide with option prices, we give the precise link between certain conditional expectations  and weak solutions of the corresponding PIDEs in Sobolev-Slobodeckii-spaces. Interpreting the equations as pseudo differential equations provides an appropriate classification of Lévy processes according to their Fourier transform.

We apply the main result to price barrier and lookback options in Lévy models and illustrate this by numerical results using a wavelet-Galerkin method.


SWD-Schlagwörter: Finanzmathematik , Stochastische Analysis , Feynman-Kac-Formel, Optionspreis , Sobolev-Raum
Freie Schlagwörter (deutsch): Exotische Optionen , Partielle Integro Differentialgleichungen , Parabolische Anfangswertprobleme , Lévy Prozesse
Freie Schlagwörter (englisch): Lévy processes , Sobolev spaces , Feynman-Kac formula , exotic options , partial integro differential equation
MSC Klassifikation 91G80 91G6
Institut: Institut für Mathematische Stochastik
Fakultät: Fakultät für Mathematik und Physik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Erstgutachter: Eberlein, Ernst (Prof. Dr.)
Sprache: Deutsch
Tag der mündlichen Prüfung: 02.09.2010
Erstellungsjahr: 2010
Publikationsdatum: 27.09.2010
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