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Bitte beziehen Sie sich beim Zitieren dieses Dokumentes immer auf folgende
URN: urn:nbn:de:bsz:25-opus-81454
URL: http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/8145/


Breuning, Patrick

Immersions with local Lipschitz representation

Immersionen mit lokaler Lipschitz-Darstellung

Dokument1.pdf (726 KB) (md5sum: 9224232558940b89223fa2e3163b8e9a)

Kurzfassung in Englisch

First we consider immersions admitting uniform bounds on the second fundamental form and the volume. Here the manifolds on which the immersions are defined are not required to be compact. It shall be shown compactness for such kind of immersions, using local graph representations over the affine tangent space. As a corollary we show a convergence result for measures defined by such immersions. Inspired by these results, in the second part we like to take immersions with uniform graph representations as our starting point. We consider immersions admitting a local representation as an L-Lipschitz graph over an appropriately chosen m-space. In the case of hypersurfaces with uniformly bounded volume, we show compactness for arbitrary fixed Lipschitz constant L. In particular, up to diffeomorphism, there are only finitely many manifolds admitting such an immersion. The same result is shown in arbitrary codimension for L sufficiently small. Finally, in the third part, we assume only a bound for some weaker norm to be satisfied by the graph functions. More precisely, we investigate immersions with continuous graph functions with small supremum norm. The graph functions are shown to be differentiable and to be Lipschitz with small Lipschitz constant.


Kurzfassung in Deutsch

Wir untersuchen zunächst Immersionen mit gleichmäßig beschränkter zweiter Fundamentalform und gleichmäßig beschränktem Volumen. Hierbei müssen die Mannigfaltigkeiten, auf denen die Immersionen definiert sind, nicht zwingend kompakt sein. Mittels lokaler Graphendarstellungen über dem affinen Tangentialraum soll Kompaktheit der Immersionen nachgewiesen werden. Als Korollar zeigen wir ein Konvergenzresultat für Maße, die durch derlei Immersionen definiert sind. Diese Ergebnisse dienen als Ausgangspunkt für den zweiten Teil, der Immersionen mit lokaler Darstellung als L-Lipschitz Graph über geeignet gewählter m-Ebene untersucht. Im Fall von Hyperflächen mit gleichmäßiger Volumenschranke zeigen wir Kompaktheit für beliebige feste Lipschitzkonstante L. Insbesondere existieren bis auf Diffeomorphie nur endlich viele Mannigfaltigkeiten, die eine derartige Immersion zulassen. Für hinreichend kleines L wird dasselbe Resultat in beliebiger Kodimension gezeigt. Im dritten Teil schließlich setzen wir nur mehr eine schwächere Normschranke an die Graphenfunktionen voraus. Genauer betrachten wir Immersionen mit stetigen Graphenfunktionen mit kleiner Supremumsnorm. Wir zeigen, dass die Graphenfunktionen differenzierbar sind, sowie Lipschitz mit kleiner Lipschitzkonstante.


SWD-Schlagwörter: Immersion <Differentialgeometrie> , Kompaktheit , Regularität
Freie Schlagwörter (englisch): immersion, compactness, regularity
MSC Klassifikation 53C42 , 53C23 , 53B25
Institut: Mathematisches Institut
Fakultät: Fakultät für Mathematik und Physik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Erstgutachter: Kuwert, Ernst (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 08.06.2011
Erstellungsjahr: 2011
Publikationsdatum: 05.07.2011
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