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Bitte beziehen Sie sich beim Zitieren dieses Dokumentes immer auf folgende
URN: urn:nbn:de:bsz:25-opus-83695
URL: http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/8369/


Beiser, Svea

A convergent algebra for the Wick star product on the Poincaré disk

Eine konvergente Algebra für das Wick Sternprodukt auf der Poincaré disk

Dokument1.pdf (1.703 KB) (md5sum: b94c9101c41129653ad929032133a296)

Kurzfassung in Englisch

This thesis is settled in the context of deformation quantization being a mathematical precise way of formalizing the transition between classical mechanics and quantum mechanics. It shows that this way of quantization leads to appropriate solutions of describing nontrivial quantum mechanic systems.

In deformation quantization the main focal point are the observables forming an algebra over the classical phase space and the associative noncommutative operator product is realized by star products. This star product deforms the classical pointwise product, while the strength of the deformation depends on Planck's constant.
What kind of observable algebra this should be is still a well-discussed point, this thesis gives a good candidate.

Within deformation quantization there are two distinct approaches:
formal and strict deformation quantization. In the latter these algebras are considered to be C*-algebras whereas in formal deformation quantization Planck's constant is replaced by a formal parameter, and therefore all the observables are replaced by formal power series. In this case the algebra has to be a *-algebra.The formal setting has the advantage of mathematically formalizing situations and finding general solutions like existence of star products, at the cost of losing physical interpretations as the definition of the spectrum of an observable. But this is the most important property of a theory to make corroboration by an experiment possible.
Therefore, in formal deformation quantization one has to go back to the physical setting, replacing the formal parameter by Planck's constant and subsequently checking and claiming the convergence of all the observables and their star products.

The achievement of this thesis is the development of a convergent subalgebra, where all star products converge. The convergence criteria will shape up as infinite, but countably many seminorms and therefore yield a Fréchet algebra.
The seminorms are defined recursively depending on the product.
The constructed algebra is still big enough to describe physical situations.

Finding such an algebra may be a big step and may give the missing link in verifying the theory of formal deformation quantization making deformation quantization more popular.
This also underlies the hypothesis that Fréchet algebras are the missing link to combine formal and strict deformation quantization.

Furthermore, we give a general recipe achieving a Fréchet algebra where the only ingredients are countably many basis elements and a product. This immensely enlarges the domains of application. We give a few examples and try to show the wide range of its applications, in particular group algebras yield interesting results.

As a main result, we consider the algebra of the Poincaré disk together with the Wick star product. This is a very interesting and well discussed example in literature as it has curvature but is not too intricate to handle. But all this work deals with C*-algebras, where only bounded operators are investigated.
Our achievement is a Fréchet algebra consisting of unbounded operators as well. This is important as position and momentum operators are already unbounded.

We show the continuity of the Möbius transformations acting transitively on the Poincaré disk and that SU(1,n) acts
continuously on the disk. We give an isomorphism between the Fréchet space and a strongly nuclear Köthe space. We further show that the algebra is a subalgebra of real analytic functions.
Moreover, the star product on the disk can be seen as a holomorphic deformation in Planck's constant, and the GNS construction is depicted but not fully implemented.


Kurzfassung in Deutsch

Diese Doktorarbeit ist im Bereich der formalen Deformationsquantisierung angesiedelt, welche eine mathematisch präzise Formulierung des Übergangs zwischen klassischer und Quantenmechanik beschreibt. Sie zeigt, dass diese Art und Weise adäquate Lösungen von nicht trivialen quantenmechanischen Systemen liefert.

Die Deformationsquantisierung stellt die Observablenalgebra über dem Phasenraum in den Vordergrund, das punktweise Produkt wird durch das Operatorprodukt abgelöst, welches durch das Sternprodukt realisiert wird. Dieses ist eine Deformation des klassischen punktweisen Produkts, wobei die Deformation von dem Planckschen Wirkungsquantum abhängt.
Was für eine Art die Observablenalgebra darstellt ist ein noch immer nicht eindeutig gelöstes Problem, diese Arbeit zeigt einen möglichen Kandidaten.

Innerhalb der Deformationsquantisierung gibt es zwei Herangehensweisen: die formale und die strikte. In der strikten Deformationsquantisierung wird die Observablenalgebra als C*-Algebra realisiert, wobei in der formalen nur eine *-Algebra vorausgesetzt wird. Weiter wird das Planksche Wirkungsquantum durch einen formalen Parameter abgelöst und alle Observablen werden durch formale Potenzreihen ersetzt. Die foramle Deformationsquantisierung hat den Vorteil, dass generelle Lösungen und Existenzbeweise gezeigt wurden, zu dem Preis, dass die physikalische Interpretation des Spektrums einer Observablen verloren geht. Aber dieses ist die wichtigste Eigenschaft, um die Theorie anhand eines Experiments überprüfen zu können.
Deshalb muss in der formalen Deformationsquantisierung der formale Parameter wieder mit dem Planckschen Wirkungsquantum ersetzt werden, wobei Konvergenz der Sternprodukte explizit gefordert werden muss.

Das Ergebnis dieser Arbeit ist die Entwicklung einer Unteralgebra, in der alle Sternprodukte konvergieren. Die Konvergenzbedingungen äußern sich in unendlich, aber abzählbar vielen Halbnormen.
Diese Halbnormen werden rekursiv definiert und hängen von dem Produkt ab. Die so konstruierte Algebra ist groß genug, um physikalische Systeme zu beschreiben und resultiert in einer Fréchet Algebra.

Eine solche Algebra ist nötig, um die formale Deformationsquantisierung zu verifizieren. Es unterlegt auch die Hypothese, dass Fréchet Algebren das fehlende Bindeglied zwischen formaler und strikter Deformationsquantisierung sind.

Weiter wird ein generelles Konzept, Fréchet Algebren zu konstruieren, vorgestellt, wobei die einzigen Zutaten eine abzählbare Basis und ein Produkt sind. Diese allgemeinen Voraussetzungen erweitern den Anwendungsbereich immens. Es werden mehrere Beispiele gezeigt, wobei die Gruppenalgebra ein interessantes Beispiel liefert.

Das bedeutendste Resultat dieser Arbeit ist die Algebra über der Poincaré disk mit dem Wick Sternprodukt, welche in der Literatur ein beliebtes Beispiel darstellt, da die Poincaré disk Krümmung besitzt, trotzdem durch globale Koordinaten beschrieben werden kann.
Die Innovation dieser Arbeit ist die konstruierte Fréchet Algebra, die auch unbeschränkte Operatoren, wie den Orts- und Impulsoperator, enthält, im Gegensatz zu den bekannten Arbeiten, die C*-Albegren und somit nur beschränkte Operatoren betrachten.

Weitere Eigenschaften sind die Stetigkeit der Möbiustransformation, die transitiv auf der disk agiert, und der Isomorphismus zwischen dem Fréchet Raum und einem streng nuklearem Köthe Raum.
Die Algebra kann als Unteralgebra der reell-analytischen Funktionen gesehen werden. Darüberhinaus ist das Sternprodukt eine holomorphe Deformation in dem Planckschen Wirkungsquantum, und es wird aufgezeigt, dass eine GNS Konstruktion möglich ist, jedoch wird dies nicht weiter ausgeführt.


SWD-Schlagwörter: Quantisierung <Physik> , Fréchet-Algebra , Algebra mit Involution , Assoziative Algebra , Halbnorm , Lokalkonvexe Algebra , Algebra
Freie Schlagwörter (deutsch): Deformationsquantisierung , Wick Sternprodukt , Poincaré disk , Phasenraumreduktion , nichtkommutative Algebra
Freie Schlagwörter (englisch): deformation quantization , Wick star product , Poincaré disk , Fréchet algebra , phase space reduction
Institut: Physikalisches Institut
Fakultät: Fakultät für Mathematik und Physik
DDC-Sachgruppe: Physik
Dokumentart: Dissertation
Erstgutachter: Waldmann, Stefan (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 28.10.2011
Erstellungsjahr: 2011
Publikationsdatum: 30.11.2011
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