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Bitte beziehen Sie sich beim Zitieren dieses Dokumentes immer auf folgende
URN: urn:nbn:de:bsz:25-opus-84056
URL: http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/8405/


Treude, Jan-Hendrik

Ricci curvature comparison in Riemannian and Lorentzian geometry

Dokument1.pdf (1.710 KB) (md5sum: 00def1556e01531217d32c85d5aa6a90)

Kurzfassung in Englisch

The present thesis is concerned with geometric consequences of a lower bound on the Ricci curvature of a Riemannian or a Lorentzian manifold.

In the Riemannian case, a detailed exposition of the classical Bishop-Gromov comparison result for the volume of geodesic balls is presented. Moreover, the well-known relation between positive Ricci curvature and finite diameter (Myers's theorem) is derived as well. Here the more classical approach via the index form and Jacobi fields is compared to the rather modern approach using volume comparison.

In the Lorentzian case, the aim was to adopt techniques from Riemannian geometry to obtain similar comparison results also for Lorentzian manifolds. In particular, it was desirable to obtain a global volume comparison result similar to the Bishop-Gromov theorem without any restrictions to "small" neighborhoods. One of the key points in order to do so is to obtain a good understanding of (differentiability) properties of the Lorentzian time separation function. This is achieved by a detailed study of causal properties and the cut locus of a Lorentzian manifold. For globally hyperbolic Lorentzian manifolds, this indeed yields sufficient properties in order to obtain global volume comparison results analogous to the Bishop-Gromov theorem. Moreover, as a consequence of these comparison results, we derive a so-called singularity theorem, i.e. a statement about geodesic incompleteness of a Lorentzian manifold. Specifically, we recover a version of Hawking's singularity theorem.

Along the way, we also discuss comparison results for the Laplacian of the Riemannian distance function, for the d'Alembertian of the Lorentzian time separation, and for areas of geodesic spheres. At least in the Riemannian case these results are well-known.


Kurzfassung in Deutsch

Das Thema dieser Diplomarbeit sind geometrische Eigenschaften einer Riemannschen oder Lorentzschen Mannigfaltigkeit, deren Ricci Krümmung von unten beschränkt ist.

Für den Fall einer Riemannschen Mannigfaltigkeit geben wir eine ausführliche Behandlung des klassischen Vergleichssatzes von Bishop-Gromov über Volumina von geodätischen Bällen. Weiterhin diskutieren wir den bekannten Zusammenhang zwischen positiver Ricci Krümmung und endlichem Durchmesser (Satz von Myers). Dabei vergleichen wir die klassische Herangehensweise mittels Jacobifelder mit dem eher moderneren Zugang über den Satz von Bishop-Gromov.

Im Lorentzschen Fall war das Ziel, Methoden aus der Riemannschen Geometrie zu übertragen, um ähnliche Vergleichsresultate auch für Lorentzsche Mannigfaltigkeiten zu erhalten. Insbesondere lag das Augenmerk darauf, ein globales Vergleichsresultat für Volumina zu erhalten, das dem Satz von Bishop-Gromov entspräche. Ein Schlüsselpunkt dazu ist ein gutes Verständnis von (Differenzierbarkeits)-Eigenschaften der Lorentzschen Zeittrennungsfunktion. Hierzu studieren wir ausführlich kausale Eigenschaften sowie den Schnittorts einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit. Für global hyperbolische Lorentzsche Mannigfaltigkeiten liefert dies tatsächlich hinreichende Voraussetzungen, um letztendlich ein globales Vergleichsresultat für Volumina geodätischer Bälle zu beweisen. Des Weiteren leiten wir als Konsequenz dieses Vergleichsresultat ein sogenanntes Singularitätentheorem ab, d.h. ein Resultat über die geodätische Unvollständigkeit einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit. Genauer erhalten wir hier eine Variante des bekannten Singularitätentheorems von Hawking.

Neben dem obigen diskutieren wir Vergleichsaussagen für den Laplace Operator der Riemannschen Abstandsfunktion, für den d'Alembert Operator der Lorentzschen Zeittrennung, sowie für Flächeninhalte geodätischer Sphären. Zumindest im Riemannschen Fall sind dies wohlbekannte Aussagen.


SWD-Schlagwörter: Differentialgeometrie , Riemannsche Geometrie , Mathematische Physik , Allgemeine Relativitätstheorie
Freie Schlagwörter (deutsch): Lorentzgeometrie
Freie Schlagwörter (englisch): differential geometry , Riemannian geometry , Lorentzian geometry , mathematical relativity
Institut: Physikalisches Institut
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Diplom-, Magister-, Masterarbeit
Sprache: Englisch
Erstellungsjahr: 2011
Publikationsdatum: 22.12.2011
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